Ляшко народився 1980 року в Рівненській області. 2003 року закінчив Національний медичний університет імені О.О. Богомольця, а 2015 року – Національну академію державного управління при президенті України.
У 2003–2010 роках Ляшко працював у санітарно-епідеміологічній службі Київської області. Після цього три роки – у Міністерстві охорони здоров’я, був директором департаменту Держсанепідслужби. У 2013–2018 роках очолював Київський обласний лабораторний центр. Потім чотири роки керував громадською організацією “Інфекційний контроль в Україні”. Із 2018-го до 2019 року обіймав посаду першого заступника генерального директора Центру громадського здоров’я.
У грудні 2019 року Ляшка призначили заступником міністра охорони здоров’я, у березні 2020 року він став головним санітарним лікарем.
